Скорость релятивистской частицы формула. Релятивистская кинетическая энергия. Примеры решения задач
Может лишь отчасти удовлетворять исследователей при осуществлении математических расчетов и составлении определенных математических моделей. Ньютоновские законы только справедливы в отношении преобразований Галилея, но для всех остальных случаев требуются новые преобразования, которые нашли отражение в представленных преобразованиях Лоренца. Он ввел такие принципы и понятия для того, чтобы производить точные расчеты для взаимодействующих объектов, которые осуществляют подобные процессы на сверхбольших скоростях, близких к скорости света.
Рисунок 1. Импульс и энергия в релятивистской механике . Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Сама теория относительности, которая была сформулирована Альбертом Эйнштейном, требует серьезного пересмотра догм классической механики. Лоренц ввел дополнительные уравнения динамики, целью которых и были те самые преобразования классических представлений о происходящих физических процессах. Необходимо было изменить формулы таким образом, чтобы они оставались верными при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.
Релятивистский импульс
Рисунок 2. Релятивистский импульс. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Для того чтобы ввести понятие энергии в релятивистской механике, необходимо рассмотреть:
- релятивистский импульс;
- принцип соответствия.
При получении релятивистского выражения импульса необходимо применять принцип соответствия. В релятивистской механике импульс частицы можно определить скоростью этой частицы. Однако зависимость импульса от скорости представляется более сложным механизмом, нежели подобные процессы в классической механике. Это больше нельзя свести к простой пропорциональности, и эффективность расчетов складывается из дополнительных параметров и величин. Импульс представляют в виде вектора, где его направление должно полностью совпадать с направлением скорости определенной частицы. Это предусматривается при варианте симметрии, так как эквивалентность вступает в силу изотропности свободного пространства.
Замечание 1
При этом импульс свободной частицы направляется к единственному выделенному направлению ее скорости. Если скорость частиц равна нулю, то и импульс частицы также равен нулевому значению.
Скорость частицы в любой системе отсчета имеет конечную величину. Она должна быть всегда менее скорости света, которая отображается в виде буквы С, однако этот факт не способен наложить некоторых ограничений на всю величину импульса этой частицы и импульс неограниченно может возрастать.
Релятивистская энергия
Сопоставив различные методы расчетов и приемов можно найти релятивистскую энергию частиц. Известно, что очень важным свойством энергии является ее способность по превращению из одной формы в другую и наоборот. Это происходит в эквивалентных количествах и при различных внешних условиях. В этих метаморфозах состоит один из основных законов сохранения и превращения энергии. При таких явлениях исследователи установили возрастание релятивистской массы. Подобные процессы происходят при любом увеличении энергии тел, и это не зависит от определенного вида энергии, в том числе кинетической энергии. Установлено, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Это происходит вне зависимости от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.
Визуально такие процессы можно представить в виде простых примеров:
- нагретое тело будет иметь большую массу покоя, чем холодный объект;
- деформированная механическим способом деталь также имеет большую массу, чем не подверженная обработке.
Эйнштейн уловил эту взаимосвязь между массой и энергией тела. Соответственно, что при неупругом столкновении различных частиц происходят определенные процессы по превращению кинетической энергии во внутреннюю. Ее еще называют энергией теплового движения частиц. При подобном виде взаимодействий видно, что масса покоя тела станет больше суммарной массы покоя тел в начале эксперимента. Внутренняя энергия определенного тела может сопровождаться увеличением массы пропорционально. Такой же процесс закономерен для увеличения значения кинетической энергии. По классической механике такие столкновения не предполагали образования внутренней энергии, так как не входили в понятие механической энергии.
Пропорциональность массы и энергии
Для логичного действия закона релятивистской энергии необходимо ввести понятие закономерности сохранения импульса и его соотношения с принципом относительности. Для этого требуется, чтобы закон сохранения энергии выполнялся в различных инерциальных системах отсчета.
Сохранение импульса тесно связано с пропорциональностью энергии и массы тела в любых его формах и проявлениях. Сохранение импульса не представляется возможным при замкнутой системе отсчета, когда происходит переход энергии из привычной формы в иную. В этом случае масса тела начинает меняться, и закон перестает действовать верно. Закон пропорциональности массы и энергии выражается как наиболее приближенный вывод всей теории относительности.
Инертные свойства тела в количественном выражении характеризует механику массы тела. Такая инертная масса может представлять меру инертности всего тела. Антиподом инертной массы выступает гравитационная масса. Она характеризуется способностью тела создавать вокруг себя определенное поле тяготения и действовать таким образом на иные тела.
В настоящее время равенство гравитационной и инертной массы подтверждено большим количеством опытных исследований. В теории относительности также возникает вопрос, где фигурируют понятия энергии и массы тела. Это связано с проявлением различных свойств материи. Если их подробно рассматривать в указанной плоскости, то масса и энергия в материи будет существенно различаться. Однако подобные свойства материи, бесспорно, крепко связаны между собой. В этом контексте принято говорить об эквивалентности массы и энергии, так как они пропорциональны друг относительно друга.
Формула Е = тс 2 для релятивистской энергии позволяет дать новую, релятивистскую интерпретации массы частицы (материальной точки). Она показывает, что наличие у частицы энергии Е означает наличие у нее массы Е /с 2 , и наоборот, наличие массы т означает наличие энергии тс?. Таким образом, масса, которая в классической механике интерпретируется либо как мера инертности тела (второй закон Ньютона), либо как мера его гравитационного действия (закон всемирного тяготения), в релятивистской механике выступает в новой функции: это есть мера энергосодержания тела, независимо от его инертных или гравитационных свойств. В частности, любое тело обладает энергией даже в состоянии покоя: это его энергия покоя тщс 2 . Универсальность взаимосвязи массы и энергии проявляется в том, что «энергосодержание» тела включает в себя любой вид энергии, заключенной в теле, в том числе, например, внутриядерной энергии, освобождающейся при ядерном взрыве (что и подтверждается при расчетах взрывов атомных бомб).
Хотя мы часто употребляли понятия «материальная точка» или «частица», но нигде не использовали ни точечных свойств тела, ни «элементарность» частицы. Поэтому формула для релятивистской энергии применима и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под скоростью и мы понимаем скорость его движения как целого, а под его релятивистской массой его массу как целого. И тогда очевидно, что релятивистская энергия тела всегда положительная величина, непосредственно связанная с его массой. В этой связи можно заметить, что в классической механике положительной является только кинетическая энергия тела, тогда как полная (сохраняющаяся) энергия кинетическая плюс потенциальная может быть и отрицательной.
Пусть механическая система как целое покоится, и пусть М 0 ее масса покоя. Если она состоит из свободно движущихся частиц, то ее релятивистская энергия равна сумме релятивистских энергий входящих в ее состав частиц. Совсем иную картину мы имеем в случае, когда частицы сложного тела (системы) взаимодействуют друг с другом. Тогда полная энергия Мд с 2 сложного тела содержит, помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, их кинетическую энергию (они могут двигаться внутри замкнутой системы), а также энергию их взаимодействия друг с другом (пример энергия ядерного взаимодействия частиц, образующих ядро атома). Таким образом, энергия Mqc? тела не равна сумме Хд т 0 кС 2 , где тдд, - масса покоя к-ой частицы тела. Отсюда прямо следует, что масса Мо покоящегося тела не равна сумме масс покоя его составных частей: Мо ф Хд т 0?- Это означает, что в релятивистской динамике не выполняется закон сохранения массы. Это еще одно ее отличие от классической механики: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместе с тем релятивистская энергия замкнутой системы сохраняется, если принимать во внимание и энергию покоя системы. Если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной энергии, то невозможно удовлетворить закону сохранения импульса и энергии во всех системах отсчета. Этот урок, преподнесенный нам релятивистской физикой, никак не предполагался в физике Ньютона.
Системы взаимодействующих частиц можно разделить на два типа: системы, которые могут самопроизвольно распадаться, и системы связанные, т. е. обладающие запасом прочности. Если система распадается, то ее релятивистская энергия частично переходит в кинетическую энергию освободившихся частиц; для этого, следовательно, необходимо Мдс 2 > Xa- или
ilio > Xa m 0 k, ~ тело может самопроизвольно распадаться лишь на части, сумма масс покоя которых меньше массы покоя тела. Напротив, если Мд энергией связи тела: Е св. Положительная величина
называется дефектом масс сложного тела.
Как видим, в релятивистской механике масса и энергия системы частиц зависят от ее состава и внутреннего состояния. В случае связанной (прочной) системы, например, атомного ядра, сумма масс покоя свободных протонов и нейтронов всегда больше массы покоя образованного из них ядра.
Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными
Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела . Скажем, протон с нейтроном столкнулись, но все еще продолжают двигаться внутри . Масса тела , как мы обнаружили, равна не , а . Этой массой снабдили тело его составные части, чья масса покоя была ; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то при нагревании газа и усилении движения молекул газ становится тяжелее. Но на самом деле такое рассуждение является совершенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и при этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части составного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т. д.,- во всех этих случаях масса тела по-прежнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы равнозначно сохранению энергии, поэтому в теории относительности нельзя говорить о неупругих соударениях, как это было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы два тела, столкнувшись, образовали тело с массой , не отличающееся от того, какое получилось бы, если их медленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет. А теперь выясняется, что это невозможно: поскольку до столкновения у тел была кинетическая энергия, то составное тело окажется тяжелее; значит, это будет уже другое тело. Если осторожно приложить два тела друг к другу, то возникает тело с массой ; когда же вы их с силой столкнете, то появится тело с большей массой. А если масса отличается, то мы можем это заметить. Итак, сохранение импульса в теории относительности с необходимостью сопровождается сохранением энергии.
Отсюда
вытекают интересные следствия. Пусть имеется тело с измеренной массой , и предположим,
что что-то стряслось и оно распалось на две равные части, имеющие скорости и массы . Предположим
теперь, что эти части, двигаясь через вещество, постепенно замедлились и
остановились. Теперь их масса . Сколько энергии они отдали
веществу? По теореме, доказанной раньше, каждый кусок отдаст энергию . Она перейдет в
разные формы, например в теплоту, в потенциальную энергию и т. д. Так как , то
высвободившаяся энергия 
. Это уравнение было использовано для
оценки количества энергии, которое могло бы выделиться при ядерном расщеплении
в атомной бомбе (хотя части бомбы не точно равны, но примерно они равны). Масса
атома урана была известна (ее измерили заранее), была известна и масса атомов,
на которые она расщеплялась,- иода, ксенона и т. д. (имеются в виду не массы
движущихся атомов, а массы покоя). Иными словами, и и были известны. Вычтя одно
значение массы из другого, можно прикинуть, сколько энергии высвободится, если распадется
«пополам». По этой причине все газеты считали Эйнштейна «отцом» атомной бомбы.
На самом же деле под этим подразумевалось только, что он мог бы заранее
подсчитать выделившуюся энергию, если бы ему указали, какой процесс произойдет.
Энергию, которая должна высвободиться, когда атом урана подвергнется распаду,
подсчитали лишь за полгода до первого прямого испытания. И как только энергия
действительно выделилась, ее непосредственно измерили (не будь формулы
Эйнштейна, энергию измерили бы другим способом), а с момента, когда ее
измерили, формула уже была не нужна. Это отнюдь не принижение заслуг Эйнштейна,
а скорее критика газетных высказываний и популярных описаний развития физики и
техники. Проблема, как добиться того, чтобы процесс выделения энергии прошел
эффективно и быстро, ничего общего с формулой не имеет.
Формула имеет значение и в химии. Скажем, если бы мы взвесили молекулу двуокиси углерода и сравнили ее массу с массой углерода и кислорода, мы бы могли определить, сколько энергии высвобождается, когда углерод и кислород образуют углекислоту. Плохо только то, что эта разница масс так мала, что технически опыт очень трудно проделать.
Теперь обратимся к такому вопросу: нужно ли отныне добавлять к кинетической энергии и говорить с этих нор, что полная энергия объекта равна ? Во-первых, если бы нам были видны составные части с массой покоя внутри объекта , то можно было бы говорить, что часть массы есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть - их кинетическая энергия, третья - потенциальная. Хотя в природе и на самом деле открыты различные частицы, с которыми происходят как раз такие реакции (реакции слияния в одну), однако никакими способами невозможно при этом разглядеть внутри какие-то составные части. Например, распад -мезона на два пиона происходит по закону (16.11), но бессмысленно считать, что он состоит из , потому что он распадается порой и на !
Релятивистский импульс: .
Кинетическая энергия релятивистской частицы: 
.
Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом: .
Теорема сложения скоростей в релятивистской механике: ,
где u и – скорости в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью , совпадающей по направлению с u (знак «-») или противоположно ей направленной (знак «+»).
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Количество вещества: ,
где N – число молекул, N A – постоянная Авогадро, m – масса вещества, m – молярная масса.
Уравнение Клайперона-Менделеева: ,
где P – давление газа, V – его объем, R – малярная газовая постоянная, T – абсолютная температура.
Уравнение молекулярно-кинетической теории газа: 
,
где n – концентрация молекул, – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, m 0 – масса молекулы, – средняя квадратичная скорость.
Средняя энергия молекулы: ,
где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.
Внутренняя энергия идеального газа: .
Скорости молекул:
средняя квадратичная: 
,
средняя арифметическая: 
,
наиболее вероятная: 
.
Средняя длина свободного пробега молекулы: ,
где d – эффективный диаметр молекулы.
Среднее число столкновений молекулы в единицу времени:
Распределение молекул в потенциальном поле сил: ,
где П – потенциальная энергия молекулы.
Барометрическая формула: .
Уравнение диффузии: ,
где D – коэффициент диффузии, r – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к направлению вдоль которого происходит диффузия.
Уравнение теплопроводности: , æ ,
где æ – теплопроводность.
Сила внутреннего трения: ,
где h – динамическая вязкость.
Коэффициент диффузии: .
Вязкость (динамическая): 
.
Теплопроводность: æ ,
где С V – удельная изохорная теплоемкость.
Молярная теплоемкость идеального газа:
изохорная: ,
изобарная: 
.
Первое начало термодинамики:
Работа расширения газа при процессе:
изобарном: ,
изотермическом: 
,
изохорном:
адиабатном: ,
Уравнения Пуассона:
Коэффициент полезного действия цикла Карно: 
,
где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура; Q 0 и Т 0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.
Изменение энтропии при переходе из состояния 1в состояние 2: .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6t 3 + 3t + 2 . Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.
Решение . Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: , . Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: , . Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: , где , согласно условию задачи, ускорение в конце второй секунды. Тогда , Н.
Ответ: , , Н.
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью на 20% меньше скорости света. Какой покажется наблюдателю его длина?
Решение . Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: , где l 0 – длина покоящегося стержня; – скорость его движения; с – скорость света в вакууме. Подставляя в формулу для l 0 числовые значения, имеем: l = 0,6 м.
Ответ: l = 0,6 м.
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) = 0,5с и u = 0,75с ; 2) = с и u = 0,75с . Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.
Решение . Согласно теореме о сложении скоростей тел, движущихся навстречу друг другу, в теории относительности: , где , u – скорости соответственно первого и второго тел; – их относительная скорость; с – скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:
Это подтверждает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: = 0,91с ; = с .
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол a=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Решение . Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью u . Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:
Здесь и – скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: . Следовательно: . Из геометрических построений следует: , поэтому:
. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
. (3)
Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:
где h
– высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим ,или с учетом (3) 
и подставив числовые данные получим h
= 0,044 м. При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:
. Используя уравнения (2) и (3), получаем: , Дж.
Ответ: h = 0,044 м, DE Д = 1,3 Дж.
5.Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот–изделие–наковальня считать замкнутой.
Решение . По условию задачи, система молот–изделие–наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:
, (1)
где – скорость молота в конце падения с высоты h ; – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:
Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения: . Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид 
, откуда:
Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3), получим: 
, Дж.
Ответ: Дж.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2t 2 +4t+1 . Определить работу силы за 10 сек от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Решение . Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:
Сила, действующая на тело, из II закона Ньютона равна: или (мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени). В соответствии с этим находим:
Из выражения (2) определим ds :
Подставив (4) и (5) в уравнение (1), получим: 
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 сек от начала ее действия: 
, А
= 960 Дж. Кинетическая энергия определяется по формуле:
Подставляя (2) в (6), имеем: 
.
Ответ: А = 960 Дж, Т = m(8t 2 +16t+8) .
7. Протон движется со скоростью 0,7с (с – скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.
Решение . Количество движения протона определяется по формуле:
Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:
где m – масса движущегося протона; m 0 =1,67×10 -27 кг – масса покоя протона; v – скорость движения протона; c = 3×10 8 м/с – скорость света в вакууме; v/c = b – скорость протона, выраженная в долях скорости света. Подставляя уравнение (2) в (1) получаем: , кг×м/с. В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е 0 этой частицы:
. (3)
Ответ: p = 4,91×10 -19 кг ×м/с, Т = 0,6×10 -10 Дж.
8. Тонкий стержень вращается с угловой скоростью 10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. В процессе вращения в той же плоскости стержень перемещается так, что ось вращения проходит через его конец. Найти угловую скорость после перемещения.
Решение . Используем закон сохранения момента импульса: , где J i , – момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с законом сохранения момента импульса запишем:
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:
По теореме Штейнера: где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:
. (3)
Подставляя, формулы (2) и (3) в (1), имеем: , откуда .
Ответ: w 2 = 2,5 c -1 .
9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин -1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Решение . Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:
где J
– момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; – изменение угловой скорости за промежуток времени . По условию, , где – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда и Момент инерции маховика , где m
– масса маховика; R
– его радиус. Формула (1) принимает вид: 
откуда М
= -1,61 Н×м. Знак «-» говорит о том, что момент томозящий.
Угол поворота (т. е. угловой путь ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:
где – угловое ускорение. По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так: 
. Так как j = 2pN
, w 0 = 2pn
, то число полных оборотов маховика: .
Ответ: М = 1,61 Н×м, N = 180.
10. В сосуде объемом 2 м 3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева, применив его к гелию и водороду:
где P 1 – парциальное давление гелия; m 1 – масса гелия; – его молярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; P 2 - парциальное давление водорода; m 2 – масса водорода; – его молярная масса. Под парциальным давлением P 1 и P 2 понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он находился в сосуде один. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:
Из уравнения (1) и (2) выразим P 1 и P 2 и подставим в уравнение (3). Имеем:
. (4)
Молярную массу смеси газов найдем по формуле: , где v 1 и v 2 – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам: и . Тогда: . Подставляя числовые значения получаем: P = 2493 КПа и = 3×10 -3 кг/моль.
Ответ: P = 2493 КПа, =3×10 -3 кг/моль.
11. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?
Решение
. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5, три из которых поступательные и две вращательные. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k
– постоянная Больцмана; Т
– термодинамическая температура. Для одной молекулы: и . Число молекул, содержащихся в массе газа: . Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул двух килограмм водорода: 
. Средняя кинетическая энергия вращательного движения этих же молекул: . Подставляя числовые значения имеем: =4986 КДж и =2324 КДж.
Ответ: =4986 КДж, =2324 КДж.
12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 0 С и давлении 100 кПа.
Решение
. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле: , где d
– эффективный диаметр молекулы кислорода; n
– число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения: , где k
– постоянная Больцмана. Таким образом, имеем: . Число соударений Z
, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно: , где N
– число молекул кислорода в сосуде объемом 2×10 -3 м3 ; 
. Подставляя числовые значения, получим: Z
Ответ: Z = 9×10 28 с -1 , = 3,56×10 8 м.
13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 10 5 Па.
Решение
. Коэффициент диффузии определяется по формуле: , где <V
> – средняя арифметическая скорость молекул, – средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из решения примера 12: 
. Выражение для коэффициента диффузии примет вид: 
. Коэффициент внутреннего трения: , где r
– плотность газа при температуре 300 К и давлении 10 5 Па. Для нахождения r
воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота: при нормальных условиях Т 0
=273 К, P
=1,01×10 5 Па и в условиях задачи: и . Учитывая, что и , имеем: . Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии: . Подставляя числовые значения, получим: D
= 4,7×10 5 м 2 /с и h
= 5,23×10 -5 кг/(м×с).
Ответ: D = 4,7×10 5 м 2 /с и h = 5,23×10 -5 кг/(м×с).
14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.
Решение
. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении: 
. Здесь с р
и С р
– удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; m
=32×10 -3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов: , Дж/(моль×К). Изменение внутренней энергии газа находим по формуле: , где С V
– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов: С V = = 5/
2×R; С V
= 20,8 Дж/(моль×К). Работа расширения газа при изобарном процессе: , где – изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона–Менделеева. При изобарном процессе: и . Почленным вычитанием выражений находим: , следовательно: . Подставляя числовые значения, получаем: Дж, Дж, Дж.
Ответ: Дж, Дж, Дж.
15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.
Решение
. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q
, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А
: . Величину системы можно определить, зная массу газа, удельную теплоемкость при постоянном объеме с V
и изменение температуры : . Однако удобнее изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С V
, которая может быть выражена через число степеней свободы: . Подставляя величину С V
получаем: . Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии . Найти для аргона по полученной формуле нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование этой формулы. Запишем уравнение Клайперона-Менделеева для начального и конечного состояний газа: и , или . Тогда: . Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении. При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q
= 0. Первое начало термодинамики запишется в виде: . Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ): . Формула работы для адиабатного процесса имеет вид: 
, где g
– показатель адиабаты, равный: . Для аргона – одноатомного газа (i
= 3) – имеем g
=1,67. Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона: 
. Для определения работы расширения аргона формулу для следует преобразовать, учитывая параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона-Менделеева для данного случая , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии: 
. Подставляя числовые значения, имеем: а) при изобарном расширении Дж; б) при адиабатном расширении Дж.
Ответ: а) =121 Дж; б) = -44,6 Дж.
16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить к.п.д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.
Решение
. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле: или . Из этих выражений находим: 
. Произведем вычисления: A
= 335 Дж. Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины равна 335 Вт.
Ответ: = 0,2, N =335 Вт.
17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.
Решение
. Пусть температура горячей воды Т 1
, холодной Т 2
, а температура смеси . Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса: или 
, откуда: . Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды: 
. Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды: 
. Изменение энтропии системы равно: 
или 
; так как и 4T 1 T 2
>0, то .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
101. Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение его координаты со временем происходит по закону х = 10 + 5t - - 10t 2 ? Масса тела 2 кг.
102. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 10 Н, если в момент t = 0 тело покоилось в начале координат (х = 0 ).
103. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 1 Н, если в момент t = 0 начальная координата х = 0 и v 0 = 5м/с.
104. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 2 Н, если в момент t = 0 имеем х 0 = 1 м и v 0 =2 м/с.
105. Тело массой 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону а = 5t-10 . Определить силу, действующую на тело через 5 с после начала действия, и скорость в конце пятой секунды.
106. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 5 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением . В точке, наиболее удаленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.
107. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 100 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением . Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в конце пятой секунды.
108. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением . Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.
109. Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению . Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени 3 с.
110. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой скоростью 5 c -1 и угловым ускорением 1 рад/с 2 . Сколько оборотов сделает тело за 10 с?
111. Параллелепипед размером 2x2x4 см 3 движется параллельно большему ребру. При какой скорости движения он будет казаться кубом.
112. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза?
113. π-мезон – нестабильная частица. Собственное время жизни его 2,6×10 -8 с. Какое расстояние пролетит π-мезон до распада, если он движется со скоростью 0,9с ?
114. Найти собственное время жизни нестабильной частицы -мезона, движущегося со скоростью 0,99с , если расстояние, пролетаемое им до распада, равно 0,1 км.
115. Собственное время жизни π-мезона 2,6×10 -8 с. Чему равно время жизни π-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица движется со скоростью 0,8с ?
116. Электрон, скорость которого 0,9с , движется навстречу протону, имеющему скорость 0,8с
117. Радиоактивное ядро, вылетевшее из ускорителя со скоростью 0,8с , выбросило в направлении своего движения -частицу со скоростью 0,7с относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.
118. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростью 0,8с . Определить скорость их относительного движения.
119. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%.
120. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились на 75%.
121. Сплошной цилиндр массой 0,1 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 4 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра, время до его остановки, если на него действует сила трения 0,1 Н.
122. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 1 м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.
123. Полый цилиндр массой 1 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 2 м.
124. Маховик, имеющий форму диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м, был раскручен до частоты 120 мин -1 . Под действием силы трения диск остановился через 10с . Найти момент сил трения, считая его постоянным.
125. Обруч и диск скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равны их ускорения в конце спуска? Силой трения пренебречь.
126. С покоящимся шаром массой 2 кг сталкивается такой же шар, движущийся со скоростью 1 м/с. Вычислить работу, совершенную вследствие деформации при прямом центральном неупругом ударе.
127. Масса снаряда 10 кг, масса ствола орудия 500 кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию 1,5×10 6 Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?
128. Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 2 кг со скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02.
129. Молекула водорода, двигающаяся со скоростью 400 м/с, подлетает к стенке сосуда под углом 60° и упруго ударяется о нее. Определить импульс, полученный стенкой. Принять массу молекул равной 3×10 -27 кг.
130. Стальной шарик массой 50 г упал с высоты 1 м на большую плиту, передав ей импульс силы, равный 0,27 Н×с. Определить количество теплоты выделевшуюся при ударе и высоту, на которую поднимается шарик.
131. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.
132. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Какова скорость этой частицы?
133. Масса движущегося протона 2,5×10 -27 кг. Найти скорость и кинетическую энергию протона.
134. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов в 200 МВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Чему равна скорость протона?
135. Определить скорость электрона, если его релятивистская масса в три раза больше массы покоя. Вычислить кинетическую и полную энергию электрона.
136. Вычислить скорость, кинетическую и полную энергию протона в тот момент, когда его масса равна массе покоя -частицы.
137. Найти импульс, полную и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью, равной 0,7с .
138. Протон и -частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, после чего масса протона составила половину массы покоя -частицы. Определить разность потенциалов.
139. Найти импульс, полную и кинетическую энергию нейтрона, движущегося со скоростью 0,6с .
140. Во сколько раз масса движущегося дейтрона больше массы движущегося электрона, если их скорости соответственно равны 0,6с и 0,9с . Чему равны их кинетические энергии.
141. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0,20 г водорода при температуре 27 °С.
142. Давление идеального газа 10 мПа, концентрация молекул 8×10 10
см -3 . Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.
143. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы аргона и водяного пара при температуре 500 К.
144. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 15×10 -21 Дж. Концентрация молекул равна 9×10 19 см -3 . Определить давление газа.
145. В баллоне емкостью 50 л находится сжатый водород при 27 °С. После того как часть воздуха выпустили, давление понизилось на 10 5 Па. Определить массу выпущенного водорода. Процесс считать изотермическим.
146. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,1 м, находится 56 г азота. До какой температуры можно нагреть газ, если стенки сосуда выдерживают давление 5·10 5 Па?
147. При температуре 300 К и давлении 1,2×10 5 Па плотность смеси водорода и азота 1 кг/м 3 . Определить молярную массу смеси.
148. В баллоне емкостью 0,8 м 3 находится 2 кг водорода и 2,9 кг азота. Определить давление смеси, если температура окружающей среды 27 °С.
149. До какой температуры можно нагреть запаянный сосуд, содержащий 36 г воды, чтобы он не разорвался, если известно, что стенки сосуда выдерживают давление 5×10 6 Па. Объем сосуда 0,5 л.
150. При температуре 27 °С и давлении 10 6 Па плотность смеси кислорода и азота 15 г/дм 3 . Определить молярную массу смеси.
151. В сосуде емкостью 1 л содержится кислород массой 32 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 100 К.
152. Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 400 К и давлении 1,38 Па.
153. В сосуде емкостью 1 л находится 4,4 г углекислого газа. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.
154. Определить коэффициент диффузии гелия при давлении 1·10 6 Па и температуре 27 °С.
155. Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуре 400 К.
156. В сосуде емкостью 5 л содержится 40 г аргона. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 400 К.
157. Определить коэффициент внутреннего трения воздуха при температуре 100 К.
158. Определить коэффициент диффузии азота при давлении 0,5×10 5 Па и температуре 127 °С.
159. Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных условиях 1,9×10 -4 кг/м×с. Определить коэффициент теплопроводности кислорода.
160. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях
9,1×10 -5 м 2 /с. Определить коэффициент теплопроводности водорода.
161. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить аргону массой 400 г, чтобы нагреть его на 100 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.
162. Во сколько раз увеличится объем 2 молей кислорода при изотермическом расширении при температуре 300 К, если при этом газу сообщили 4 кДж теплоты.
163. Какое количество теплоты нужно сообщить 2 молям воздуха, чтобы он совершил работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарическом процессе.
164. Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном расширении 28 г азота, если его объем увеличился в два раза. Начальная температура азота 27 °С.
165. Кислород, занимающий объем 10 л и находящийся под давлением 2·10 5 Па, адиабатно сжат до объема 2 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии кислорода.
166. Определить количество теплоты, сообщенное 88 г углекислого газа, если он был изобарически нагрет от 300 К до 350 К. Какую работу при этом может совершить газ и как изменится его внутренняя энергия?
167. При каком процессе выгоднее производить расширение воздуха: изобарическом или изотермическом, если объем увеличивается в пять раз. Начальная температура газа в обоих случаях одинаковая.
168. При каком процессе выгоднее производить нагревание 2 молей аргона на 100 К: а) изобарическом; б) изохорическом.
169. Азоту массой 20 г при изобарическом нагревании сообщили 3116 Дж теплоты. Как изменилась температура и внутренняя энергия газа.
170. При изотермическом расширении одного моля водорода была затрачена теплота 4 кДж, при этом объем водорода увеличился в пять раз. При какой температуре протекает процесс? Чему равно изменение внутренней энергии газа, какую работу совершает газ?
171. Определить изменение энтропии 14 г азота при изобарном нагревании его от 27 °С до 127 °С.
172. Как изменится энтропия 2 молей углекислого газа при изотермическом расширении, если объем газа увеличивается в четыре раза.
173. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику 25% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 400 К.
174. Тепловая машина работает по циклу Карно, к.п.д. которого 0,4. Каков будет к.п.д. этой машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении?
175. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, к.п.д. которого 40%. Каков будет к.п.д. этой машины, если она работает по прямому циклу Карно.
176. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 1000 Дж. Температура нагревателя 500 К, температура холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя.
177. Найти изменение энтропии при нагревании 2 кг воды от 0 до 100 °С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.
178. Найти изменение энтропии при плавлении 2 кг свинца и дальнейшем его охлаждении от 327 до 0 °С.
179. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды, находящейся при температуре 300 К, и 4 кг воды при температуре 370 К.
180. Лед массой 1 кг, находящийся при температуре 0 °С, нагревают до температуры 57 °С. Определить изменение энтропии.
Второй закон Ньютона гласит, что производная импульса частицы (материальной точки) по времени равна результирующей силе, действующей на частицу (см. формулу (9.1)). Уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца, если под импульсом подразумевать величину (67.5). Следовательно, релятивистское выражение Второго закона Ньютона имеет вид
Следует иметь в виду, что соотношение в релятивистском случае неприменимо, причем ускорение w и сила F, вообще говоря, оказываются неколлинеарными.
Заметим, что импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Формулы преобразования компонент импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой будут получены в следующем параграфе. Формулы преобразования компонент силы мы дадим без. вывода:
( скорость частицы в системе К). Если в системе К действующая на частицу сила F перпендикулярна к скорости частицы V, скалярное произведение FV равно нулю и первая из формул (68.2) упрощается следующим образом:
Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, поступим так же, как мы поступили в § 19. Умножим уравнение (68.1) на перемещение частицы . В результате получим
Правая часть этого соотношения дает работу совершаемую над частицей за время . В § 19 было показано, что работа результирующей всех сил идет на приращение кинетической энергии частицы (см. формулу ). Следовательно, левая часть соотношения должна быть истолкована как приращение кинетической энергий Т частицы за время . Таким образом,
Преобразуем полученное выражение, приняв во внимание, что (см. (2.54)):
Интегрирование полученного соотношения дает
(68.4)
По смыслу кинетической энергии она должна обращаться в нуль при Отсюда для константы получается значение, равное Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии частицы имеет вид
В случае малых скоростей формулу (68.5) можно преобразовать следующим образом:
Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.
Рассмотрим свободную частицу (т. е. частицу, не подверженную действию внешних сил), движущуюся со скоростью v. Мы выяснили, что эта частица обладает кинетической энергией, определяемой формулой (68.5). Однако имеются основания (см. ниже) приписать свободной частице, кроме кинетической энергии (68.5), дополнительную энергию, равную
Таким образом, полная энергия свободной частицы определяется выражением . Приняв во внимание (68.5), получим, что
При выражение (68.7) переходит в (68.6). Поэтому называют энергией покоя. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого.
Формулы (68.6) и (68.7) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из многих частиц. Энергия такого тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию (68.7), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.
Исключив из уравнений (67.5) и (68.7) скорость v (уравнение. (67.5) нужно взять в скалярном виде), получим выражение полной энергии частицы через импульс р:
В случае, когда эту формулу можно представить в виде
Полученное выражение отличается от ньютоновского выражения для кинетической энергии слагаемым
Заметим, что из сопоставления выражений (67.5): и (68.7) вытекает формула
Поясним, почему свободной частице следует приписывать энергию (68.7), а не только кинетическую энергию (68.5). Энергия по своему смыслу должна быть сохраняющейся величиной. Соответствующее рассмотрение показывает, что при столкновениях частиц сохраняется сумма (по частицам) выражений вида (68.7), в то время как сумма выражений (68.5) оказывается несохраняющейся. Невозможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать энергию покоя (68.6) в составе полной энергии.
